离散系统根轨迹和频率特性

　　1. 离散系统根轨迹
　　考虑线性定常离散系统
　　
　　　　　　　　　图1 线性定常离散系统
　　闭环脉冲传递函数为
　　　　　　　　　　(1)
　　该系统的特征方程为
　　　　　　　　　　　　　(2)
　　离散系统根轨迹就是画出闭环系统特征方程的根在z平面上随参数K变化的轨迹。由于离散根轨迹与连续根轨迹在形式上相同，所以其根轨迹的画法与连续根轨迹类似。
　　绘制离散系统根轨迹的基本原则：
　　(1) 根轨迹起于开环脉冲传递函数MG(z)的极点，终止于开环脉冲传递函数MG(z)的零点；
　　(2)实轴上的某一区域，若其右侧开环实数零、极点个数之和为奇数，则该区域必是根轨迹；
　　(3) 根轨迹对称于实轴；
　　(4) 渐近线的个数等于开环脉冲传递函数MG(z)的极点n_p与零点n_z之差，且渐近线与实轴的交角和交点分别为
　　　　　　　　(3)
　　　　　　　(4)
　　(5) 根轨迹的分离点由下式求解
　　　　　　　　　　　　　　(5)
　　即
　　　　　　　　　　(6)
　　〖例1〗 设，画出其根轨迹。
　　解：开环脉冲传递函数的极点为z=1和z=0.368，零点为z=-0.717和z=∞。可计算分离点为z=0.65(K=0.196)和z=-2.08(K=15)（先算分离点，再通过特征方程求K）。
　　由以上原则，可画出其根轨迹如下图左图。
　　　
　　　　　　　　　　　　　　　图2 根轨迹图
　　在临界点，K=2.39,此时特征方程为z2-0.488z-1=0，其根为
　　
　　2. 离散系统频率特性
　　在连续系统中，频域分析法是应用频率特性研究线性系统的一种经典方法。只要将传递函数中的s以jω置换，就可以得到相应的频率特性。频率特性有幅频特性、相频特性及幅相频特性。
　　在连续系统中，某一个环节的频率特性为
　　　　　　　　　　(1)
　　在离散系统中，某一环节的频率特性（奈氏曲线）为
　　　　　　　　　　　　(2)
　　只是这里的取值有限制。由前面分析可知
　　　　　　　　　(3)
　　〖例2〗 求开环脉冲传递函数的频率特性。
　　解：由于s平面的虚轴与z平面的单位圆对应，所以s平面的围线对应z平面的单位圆。与连续系统相似，当在单位圆上有极点时，围线应绕过该点，如图3所示。
　　
　　　　　　　　　　　　　图3 频率特性
　　在该点定义
　　则
　　对应奈氏图如图4.15所示。其中G(-1)=-0.0381。
　　由于与连续系统形式相似，所以幅角原理和奈氏判据有相类似的结论。
　　奈奎斯特稳定判据：线性离散反馈系统稳定的充要条件是奈氏曲线反时针包围临界点的圈数R等于开环脉冲传递函数单位圆外的极点数P,即R=P。否则闭环系统不稳定，闭环单位圆外的极点数Z为Z=P-R。
　　由此判据可知，例2闭环系统是稳定的。
　　通过例2可以看出，由于频率特性G(e^jωT)不是ω的有理分式函数，所以不便于分析其频率特性，这给分析和设计系统带来不便。由4.1节可知，双线性变换可以将z平面的单位圆变换为w平面的虚轴，而且由于w平面与s平面有类似的对应关系，因此可以运用与连续系统相同的频域分析法来进行系统的分析和设计。
　　幅频特性和相频特性常采用对数幅频特性和对数相频特性。采用双线性变换，可以将z平面变换到w平面，从而可以方便地求出对应的对数幅频特性和对数相频特性。
　　〖例3〗 已知系统开环脉冲传递函数为，求其对数幅频特性和对数相频特性。
　　解：采用双线性变换，得w平面的开环脉冲传递函数
　　
　　对数幅频特性和对数相频特性如图4所示。
　　
　　　　　　　　　图4 对数幅频特性和对数相频特性