在连续系统中，表示输出和输入信号关系的数学模型用微分方程和传递函数来描述；在离散系统中，则用差分方程、脉冲传递函数和离散状态空间表达式三种方式来描述。
1. 差分方程的一般概念
一阶线性常系数差分方程的一般形式为
 （1）
或（在上式中，令k=k+1即可）
 （2）
一般情况，线性常系数差分方程的输入r为一序列，用r=r(k)={r(0),r(1),r(2)，…}来表示；输出y也将是一序列，用y=y(k)={y(0),y(1),y(2),…}来表示。
则系统的输入与输出之间可以用线性常系数差分方程来描述，即
 （3）
上式也可写成
 （4）
式（4）就称为n阶线性常系数差分方程。该方程表示，现在时刻的输出y(k+n)可以通过已知的输入序列r(k+n),r(k+n-1)，…，r(k)和以前各时刻的输出序列y(k+n-1),…，y(k)来求得。其中aj，bj是由系统物理参数确定的常数。
所谓线性离散系统，是指表征其特性的差分方程满足叠加原理。
若 为任意常数,则
2. 差分方程的求解
差分方程的求解方法有：(1)经典法，(2)迭代法，(3)z变换法。
(1) 差分方程的经典解法
差分方程的经典解法与微分方程的解法类似。其全解包括对应齐次方程的通解和非齐次方程的一个特解。
① 齐次解
当系统中无输入函数r(k)作用时，系统可由齐次差分方程描述：
 (5)
设该差分方程的通解为 ，代入方程(5)，则有
 (6)
因，所以可以用 除上式两边，得
 (7)
式(7)称为齐次方程(3.9)的特征方程，若特征方程具有互不相同的特征根 则齐次方程(5)的通解为
 (8)
式中，系数li将由边界条件（初始条件）决定。
当特征根 为m重根， 为(n-m)个单根时，系统的通解为
 (3.13)
即通解yf(k)由两部分组成，前一个和式由m个重根构成，后一个和式由(n-m)个单根构成，系数li将由边界条件（初始条件）决定。
② 特解
当输入函数r(k)作用于系统时，系统差分方程的非齐次项不为零，则差分方程的全解包括通解和特解两部分，其特解的求法与微分方程相同，特解的形式取决于输入函数r(k)的结构，表1列出了几个常见的特解形式。
表1 差分方程的解
根据输入函数的形式，设对应的特解形式并代入非齐次方程(2)中，再求出待定系数p0，p1，…，pm，那么所设解即为方程的一个特解yp(k)。
③ 方程的全解及系统分析
根据线性系统特性，方程的解为y(k)=yf(k)+yp(k)。
据此可得以下三点结论：
(a) 差分方程是离散系统的一个完整描述，它完全反映了一个实际物理系统的特征。
(b) 系统的稳定性只取决于系统的通解，即系统的特征根。为保证系统的稳定性，要求所有的特征根在单位圆内。
(c) 系统的动态特性取决于特征根的分布。
〖例1〗求解差分方程
初始条件为y(1)=5,y(2)=9
解：上式的特征方程为
特征根： 。由式(3.12)得齐次方程的通解：
把两个初始条件分别代入上式，得到系数的值，所以差分方程的通解为
因差分方程的右边为零，故其特解为零，所以上式就是差分方程的全解。
(2) 差分方程的迭代解法
系统差分方程的经典解法需要求出齐次方程的通解和非齐次方程的特解，非常不便。如果已知系统的差分方程和输入值序列，则在给定输出值序列的初始值之后，就可以利用迭代方法计算出任何时刻的输出值。
原理：根据初始条件(边界条件)，逐步递推计算出后面各时刻的输出，即由前一时刻的已知结果，递推出后一时刻的待求值。
〖例2〗 已知离散系统的差分方程为
y(k+1)-2y(k)=r(k)
设初始条件为y(0)=0, r=r(k)={r(0),r(1),r(2)，…}={1,0,1,0,1,0,…}，求方程的解。
解：y(k+1)＝2y(k)+r(k)
当k=0时，y(1)=2y(0)+r(0)=1
当k=1时，y(2)=2y(1)+r(1)=2
当k=2时，y(3)=2y(2)+r(2)=5
依次类推，方程可求解。 |
