如果被控对象存在纯时间滞后，则对其控制的难度往往较大。如果在这种情况下，对系统的要求是无超调量或超调量很小，并且允许有较长的调节时间，则大林算法的控制效果往往比PID等控制算法具有更好的效果。假设有滞后特性的被控对象可以用带有纯滞后环节e-τs的一阶或二阶惯性环节来近似。即，
 (6.24)
或  (6.25)
带零阶保持器的一阶对象的脉冲传递函数为
 (6.26)
带零阶保持器的二阶对象的脉冲传递函数为
 (6.27)
式中
 (6.28)
(1) 数字控制器D(z)的形式
不论是对一阶惯性对象还是对二阶惯性对象，大林算法的设计目标都是使闭环传递函数Φ(s)相当于一个纯滞后环节和一个惯性环节的串联，其中纯滞后环节的滞后时间τ与被控对象的纯滞后时间完全相同。这样就能保证使系统不产生超调，同时保证其稳定性。
因此
 (6.29)
式中，Tc为理想闭环系统的一阶惯性时间常数。
对上式用零阶保持器法离散化，得到
 （6.30）
由于
 (6.31)
所以，只要确定了被控对象，就可以由上式确定控制器。
① 被控对象为带纯滞后的一阶惯性环节
将式(6.26)代入式(6.31)，得到
 (6.32)
② 被控对象为带纯滞后的二阶惯性环节
将式(6.27)代入式(6.31)，得到
 (6.33)
因此，大林算法的主要步骤是：
(a) 选取期望的闭环传递函数；
(b) 根据被控装置的传递函数(6.26)或(6.27)计算广义脉冲传递函数；
(c) 计算数字控制器脉冲传递函数。
〖例6.4〗已知被控装置的传递函数为
试采用大林算法，确定数字控制器。
解：采样周期T=1s，期望闭环传递函数为
由式（6.30）得
被控装置广义脉冲传递函数
根据式(6.31)得
系统单位阶跃响应y(kT)及控制器的输出信号u(kT)如图6.15所示。从图中曲线可以看出，输出响应有较大波纹，控制量u(kT)有振荡周期为二倍采样周期的大幅值摆动。
图6.15 例6.4系统单位阶跃的输出响应和控制量曲线
(2) 振铃现象及其消除
所谓振铃(Ringing)现象，是指数字控制器的输出以二分之一采样频率大幅度衰减的振荡。如上例6.4中所示。这与前面所介绍的最少拍有纹波系统中的纹波是不一样的。纹波是由于控制器输出一直是振荡的，影响到系统的输出一直有纹波。而振铃现象中的振荡是衰减的。由于被控对象中惯性环节的低通特性，使得这种振荡对系统的输出几乎无任何影响。但是振铃现象却会增加执行机构的磨损，在有交互作用的多参数控制系统中，振铃现象还有可能影响到系统的稳定性。
① 振铃现象的分析
系统的输出Y(z)和数字控制器的输出U(z)间有下列关系
系统的输出Y(z)和输入函数的R(z)之间有下列关系
由上面两式得到数字控制器的输出U(z)与输入函数的R(z)之间的关系为
 (6.34)
定义
 (6.35)
显然，可由式(6.34)得到
Ku(z)表达了数字控制器的输出与输入函数在闭环时的关系，是分析振铃现象的基础。
对于单位阶跃输入函数R(z)=1/(1-z-1)，含有极点z=1，如果Ku(z)的极点在z平面的负实轴上，且与z=-1点相近，那么数字控制器的输出序列u(k)中将含有这两种幅值相近的瞬态项，而且瞬态项的符号在不同时刻是不同的。当两瞬态项符号相同时，数字控制器的输出控制作用加强，符号相反时，控制作用减弱，从而造成数字控制器的输出序列大幅度波动。分析Ku(z)在z平面福实轴上的极点分布情况，就可得出振铃现象的有关结论。下面分析带纯滞后的一阶或二阶惯性环节系统中的振铃现象。
(a)带纯滞后的一阶惯性环节
被控对象为带纯滞后的一阶惯性环节。有前面讨论可知脉冲传递函数G(z)和闭环系统的期望脉冲传递函数Φ(z)，代入上式得
 (6.36)
求得极点z=e-T/Tc，显然，该极点永远是大于零的。故得出结论：在带纯滞后的一阶惯性环节组成的系统中，数字控制器输出对输入的脉冲传递函数不存在负实轴上的极点，这种系统不存在振铃现象。
(b)带纯滞后的二阶惯性环节
被控对象为带纯滞后的二阶惯性环节。将脉冲传递函数G(z)和闭环系统的期望脉冲传递函数Φ(z)代入，得
 (6.37)
上式有两个极点，第一个为z=e-T/Tc，不会引起振铃现象；第二个极点在z=-c2/c1。
因 
说明可能出现负实轴上与z=-1相近的极点，这一极点将引起振铃现象。
② 振铃幅度RA
振铃幅度RA用来衡量振铃强烈的程度。为描述振铃强烈的程度，应找出数字控制器输出量的最大值umax。由于这一最大值与系统参数的关系难于用解析的式子描述出来，所以常用单位阶跃作用下数字控制器第0次输出量与第1次输出量的差值来衡量振铃现象强烈的程度。
设Ku具有如下形式
 (6.38)
在单位阶跃输入函数的作用下，数字控制器输出量的z变换是
 (6.39)
所以，RA=1-(b1-a1+1)=a1-b1
对于带纯滞后的二阶惯性环节组成的系统，其振铃幅度为
 (6.40)
③ 振铃现象的消除
有两种方法可用来消除振铃现象。第一种方法是先找出D(z)中引起振铃现象的因子(z=-1附近的极点)，然后令其中的z=1，根据终值定理，这样处理不影响输出量的稳态值。下面具体说明这种处理方法。前面已介绍在带纯滞后的二阶惯性环节系统中，数字控制器的D(z)为
其极点z=-c2/c1将引起振铃现象。令极点因子(c1+c2z-1)中的z为z=1，就可消除这个振铃极点。此时 
消除振铃极点后，数字控制器的形式为
 (6.41)
这种消除振铃现象的方法虽然不影响输出稳态值，但却改变了数字控制器的动态特性，将影响闭环系统的瞬态性能。
第二种方法是从保证闭环系统的特性出发，选择合适的采样周期T及系统闭环时间常数Tc，使得数字控制器的输出避免产生强烈的振铃现象。从式中可以看出，带纯滞后的二阶惯性环节组成的系统中，振铃幅度与被控对象的参数T1、T2有关，与闭环系统期望的时间常数Tc以及采样周期T也有关。通过适当选择T及Tc，可以把振铃幅度抑制在最低限度以内。有的情况下，系统闭环时间常数Tc作为系统的性能指标被首先确定了，但仍可通过选择采样周期T来抑制振铃现象。
④ 一种改进的消除振铃现象的方法
上面的大林算法是从修改数字控制器入手，根据它所得到的闭环传递函数很难估出暂态下系统输出的变化规律。将被控对象对应的脉冲传递函数写成
 (6.42)
式中，G0(z)不含振铃因子。
取期望闭环脉冲传递函数为
 (6.43)
式中，Φ0(z)为大林算法给出的期望闭环脉冲传递函数
 (6.44)
于是有
 (6.45)
显然，Ku(z)中也不含振铃极点-zi了。同大林算法相比，这种方法得到的数字控制器稍复杂些。
⑤ 具有纯滞后系统的数字控制器直接设计的步骤
具有纯滞后的系统中直接设计数字控制器考虑的主要性能是控制系统不允许产生超调并要求系统稳定。系统设计中一个值得注意的问题是振铃现象。
下面是考虑振铃现象影响时，设计数字控制器的一般步骤。
(a)根据系统的性能，确定闭环系统的参数Tc，给出振铃幅度RA的指标；
(b)根据振铃幅度RA与采样周期T的关系，解出给定振铃幅度下对应的采样周期T，如果T有多解，则选择较大的采样周期；
(c)确定纯滞后时间τ与采样周期之比的最大整数N；
(d)求广义对象的脉冲传递函数G(z)及闭环系统的脉冲传递函数Φ(z)；
(e)求数字控制器的脉冲传递函数D(z)。 |
