数字控制器间接化设计的基本设计方法

　　数字控制器的间接设计法是先根据给定的性能指标及各项参数，应用连续系统理论和设计方法设计模拟控制器G_c(s)，形成如图1所示的模拟闭环系统，再按照本节介绍的离散化方法将模拟控制器离散化为数字控制器D(z)，形成如图2所示的计算机控制系统。
　　
　　　　　　　　　　　　　　图1 模拟闭环控制系统
　
　　　　　　　　　　　图2 计算机控制系统的简化结构
　　这种设计方法对采样周期的选择有比较严格的限制。由于计算机技术及A/D和D/A转换器的迅速发展，实现一个给定模拟控制器的等效数字控制器并不难。图3(a)是模拟控制器，图3(b)是其等效的数字控制器。在等效数字控制器中，连续时间输入信号被变换成数字信号，经数字控制器处理后再变成连续信号。可见这种等效并不是将模拟控制器Gc(s)简单进行z变换来得到数字控制器D(z)的，而应通过一定离散化方法使二者有近似相同动态特性和频率响应特性。
　　
　　　　　　　　　　　　　　　图3 模拟化设计原理
　　1. 差分法
　　在线性定常连续系统中，模拟控制器通常用传递函数或微分方程描述。设有一模拟控制器为
　　
　　其对应的微分方程为
　　　　　　　　　(1)
　　将上式两边从0到t进行积分，得
　　　　　　　　(2)
　　若求解每个采样周期T时u(t)的值,将kT代入上式中的t,得
　　
　　即
　　　　　　　　(3)
　　将式(3)中的kT换成(k-1)T,有
　　　　　　　(4)
　　式(3)与式(4)相减,得
　　　　　　　(5)
　　上式右侧两项在数值上可用各种方法积分.
　　(1) 前向差分法
　　前向差分法是一种数值积分，即用(k-1)T时刻的值所形成的矩形面积近似项积分，如图4所示。
　　则式(5)可写为
　　
　　上式的z变换为
　　
　　则离散化后的数字控制器脉冲传递函数为
　　　　　　　　6)
　　若令
　　　　　　　　　　(7)
　　则G_c(s)与D(z)完全相同。即当采用前向差分法时，可认为式(7)是从s平面到z平面的映射函数。
　　众所周知,s平面的稳定区域为s平面的左半平面，如图5所示，即
　　
　　因为T>0，故有,如图5所示。由此可见，前向差分法有可能将s左半平面的稳定极点映射到z平面单位圆外成为不稳定极点，即将稳定的模拟控制器离散化为不稳定的数字控制器。因此，实际应用中不能采用前向差分法作为离散化方法。
　　
　　　　　　　　图4 前向差分法的几何意义
　　
　　　　　　　　　　　图5前向差分法的映射关系
　　(2) 后向差分法
　　后向差分法也是一种数值积分，即用kT时刻的值所形成的矩形面积近似积分项，如图6所示。则式(5)可写为
　　　　　　（8）
　　上式的z变换为
　　
　　则离散化后的数字控制器脉冲传递函数为
　　　　　　　　　(9)
　　若令
　　　　　　　　　(10)
　　则G_c(s)与D(z)完全相同。即采用后向差分法时，可认为式(5.10)是从s平面到z平面的映射函数。此时数字控制器D(z)为
　　　　　　　　(11)
　　后向差分法将s平面的稳定区域映射为z平面的一个以σ=1/2，ω=0为圆心，1/2为半径的圆，如图7所示。可见，后向差分法的映射为稳定映射。
　　后向差分法简单，并能由稳定的模拟控制器得到稳定的数字控制器(注意，一些不稳定的模拟控制器也可能转换为稳定的数字控制器)。然而，因为s平面的稳定区被映射到z平面单位圆内的一个圆内，故用这个方法获得的数字控制器的动态响应和频率响应特性与原模拟控制器的特性相比有相当大的畸变。为减小畸变，需用较高的采样频率，即较小的采样周期T。
　　
　　　　　　　　图6 后项差分法的几何意义
　　
　　　　　　　　　图7 后项差分法的映射关系
　　(3) 双线性变换法
　　双线性变换法也称梯形法或Tustin法，其是基于梯形面积近似积分的方法。根据这个方法有
　　　 　　如图8所示。
　　
　　若令
　　　　　　　　(14)
　　则G_c(s)与D(z)完全相同。
　　式(14)即是双线性变换法从s平面到z平面的映射函数，即数字控制器可以由下式获得：
　　　　　　　　　(15）
　　根据式(14)，s平面的稳定区域为
　　
　　令，则上式可化为
　　
　　上式等价于
　　即
　　上述不等式与z平面中单位圆的内部相对应。因此，对于稳定的模拟控制器，双线性变换法可以产生稳定的数字控制器。双线性变换的映射结果与z=e^Ts的映射结果一致。根据z=e^Ts的对应关系，可把s平面整个jω轴映射为z平面中心单位圆的无限多个循环。虽然看起来双线性变换与z变换法在映射左半s平面为z平面的单位圆方面是相同的，然而在对离散控制器的暂态响应和频率响应特性的影响方面，二者却有很大的差异。
　　2. z变换设计法
　　(1) 脉冲响应不变法
　　① 设计原理
　　脉冲响应不变法的基本思想是：离散近似后的数字控制器的脉冲响应gD(kT)是模拟控制器的脉冲响应采样值g(kT)的T倍。
　　设模拟控制器为G_c(s)，其单位脉冲响应的采样值为
　　
　　待求的数字控制器D(z),其单位脉冲响应为gD(kT)。
　　设计原则是使gD(kT)=Tg(kT)，则有
　　　　　　　(16)
　　可见脉冲响应不变法保存了脉冲响应的相位。由于等效离散控制器D(z)与连续控制器G_c(s)的z变换成比例，故脉冲响应不变法也叫做直接z变换法。
　　② 特点及应用范围
　　由于脉冲响应不变法是z变换法，故G_c(s)稳定，则D(z)也可保证稳定。D(z)的频率响应是G_c(s)的频率响应加上无限多个附加的频率响应分量，它们的中心频率是采样频率的整数倍，不会产生频率畸变。由于z变换的多值映射特性，容易出现频率“混叠”现象。
　　其应用范围是：连续控制器G_c(s)应具有部分分式结构或能较容易地分解为并联结构。且G_c(s)应具有陡衰减的频率特性，此种方法较适合用于有限带宽信号的场合。这时采样频率足够高，可减少频率混叠影响，从而保证D(z)的频率特性接近原连续控制器G_c(s)。
　　(2) 阶跃响应不变法
　　① 设计原理
　　阶跃响应不变法的基本思想是：离散近似后的数字控制器的阶跃响应序列与模拟控制器的阶跃响应的采样值一致。
　　设连续系统的控制器为G_c(s)，输入信号为单位阶跃函数E(s)=1/s,输出为U(s)，则连续系统的阶跃响应
　　
　　构造如下新的控制器(在G_c(s)前增加一个零阶保持器)
　　
　　取z变换，得相应的数字控制器
　　　　　　　(17)
　　则对于单位阶跃输入，其响应序列为
　　
　　此式表明，数字控制器D(z)的阶跃响应与模拟控制器阶跃响应的采样值相同。式(5.17)即为数字控制器与模拟控制器的等效关系。这里的零阶保持器为构造D(z)而加在G_c(s)上的虚拟环节，并不是系统中的硬件环节。
　　② 特点及应用范围
　　阶跃响应不变法的主要特点是：G_c(s)稳定，D(z)亦稳定。由于零阶保持器的低通滤波特性，可减少“混叠”现象，可保持稳态增益不变。
　　应用场合是：G_c(s)应具有并联结构形式或容易分解成部分分式形式。由于D(z)内含有零阶保持器，该方法只能用于低通网络，且要求保持阶跃响应不变的系统。在某些认为阶跃输入时的暂态响应特性最重要的特定场合，可以用这个方法令等效离散控制器的阶跃响应等于连续控制器的阶跃响应。然而，值得注意的是，在大多数实际应用情况中，阶跃输出响应特性虽然是重要的，但却不应是唯一的。可能有其他类型的输出也是重要的，因而，还必须考虑对那些输入的响应特性。另外，当采样频率较低时，还需要补偿零阶保持器的相位滞后。
　　(3) 零极点匹配映射法
　　s域中零极点的分布直接决定了系统的特性，z域中亦然。因此，当s域转换到z域时，应当保证零极点具有一一对应的映射关系，根据s域与z域的转换关系z=e^Ts，可将s平面的零极点直接一一对应地映射到z平面上，使D(z)的零极点与连续系统Gc(s)的零极点完全相匹配，这一等效离散化方法称为“零极点匹配法”或“根匹配法”。
　　由于连续系统G_c(s)中的零点除了G_c(s)中显式表明的外，尚隐含有无穷远处的零点。为此，对无穷远处的零点匹配有三种方案：
　　① 配置在z平面的原点，这些零点是(z-0)^n-m=z^n-m。
　　② 配置在z平面的z=-1处，这些零点是(z+1)^n-m。
　　③ 配置在z平面的(0，-1)之间的某一点δ处，这些零点是(z+δ)^n-m。
　　以上三种匹配方法对D(z)的相位都将产生不同的影响，其中方案(1)使相位超前，方案(2)使相位滞后，方案(3)可通过调整δ来改变相位。
　　零极点匹配映射法的处理过程如下：
　　① 首先，将G_c(s)因式分解，然后，按z=e^Ts关系把G_c(s)的极点映射到z平面中去。例如，G_c(s)的极点s=-a映射为D(z)的极点z=e^-aT。
　　② 根据关系式z=e^Ts，把G_c(s)的有限零点映射为z平面上的零点。例如，G_c(s)的一个有限零点s=-b映射为D(z)的零点z=e^-bT。
　　③ 根据相位要求选择映射到无穷远处的零点匹配方案。
　　④ 调整离散控制器的增益与连续控制器相匹配。换算方法有两种：
　　(a) 根据终值定理按稳态响应相等，即
　　
　　来确定数字控制器D(z)的增益K_z。
　　当出现两者稳态值均为零的情况，可将输入函数E(s)［E(z)］提高一个阶次(如由阶跃函数改为速度函数)，再使稳态值为一有限值，从而正确确定出K_z。
　　(b)根据频率特性在某些期望特征点上相等来确定K_z。
　　由G_c(s)可确定其频率特性G_c(jω)=｜G_c(jω)｜.∠Φ(ω)=A(ω).∠Φ(ω)
　　同样，由D(z)可确定其频率特性D(e^jωT)=｜D(jωT)｜.∠Φ_z(ω)=A_z(ω).∠Φ_z(ω)选取某一特征点ω=ω1，并使G_c(jω1)和D(e^jω1T)相等，即
　　幅频 A_z(jω1)=A(jω1)
　　相频 Φ_z(jω1)=Φ(jω1)
　　上式方程中必含K_z和δ两个参数，解此联立方程即可求得。
　　通过以上各种离散化方法的理论分析，可以看出具体选择何种方法将G_c(s)等效离散到D(z)，应根据实际情况选择，并得到以下结论
　　采样周期T必须取得足够小，才能使D(z)接近G_c(s)的性能；
　　双线性变换法是最好的离散化方法，它在低采样频率下仍然保持良好的性能；
　　如果以增益作为唯一的准则，零极点匹配法性能最好；
　　对连续传递函数G_c(s)=G_c1(s)G_c2(s)…G_cn(s)可分别对G_c1(s)，G_c2(s)，…G_cn(s)等效离散得到D₁(z)，D₂(z)，…D_n(z)，则D₁(z)，D₂(z)，…D_n(z)的乘积即为D(z)。