线性离散系统的稳定性判据

2016-10-23 09:26:01 | 人围观 | 评论:

　　(1) 修正劳斯―胡尔维茨稳定判据
　　连续系统的劳斯―胡尔维茨稳定判据，是通过系统特征方程的系数及其符号来判断系统的稳定性。这个方法实际上仍是判断特征方程的根是否都在s平面的左半部。然而，在离散系统中，判断系统的稳定性，是判断系统特征方程的根是否全在z平面的单位圆内。因此，离散系统不能直接应用劳斯―胡尔维茨判据来分析稳定性。从理论上分析，利用关系式z=e^Ts，可以将z为变量的特征方程转换为以s为变量的特征方程。但因为s在指数中，代换运算不方便。为此，必须引入另一种线性变换。将z平面单位圆内区域映射为另一平面上的左半部。这样，就可以应用劳斯―胡尔维茨稳定判据来判断离散系统的稳定性。为此，可采用双线性变换方法进行判断。
　　双线性变换Ⅰ：
　　

　　　　　　　　　（1）
　　式中w是复变量，由上式解得
　　

　　　　　　　　　（2）
　　或采用双线性变换Ⅱ：
　　

　　　　　　　（3）
　　或写成
　　

　　　（4）
　　此时
　　

　　　　　（5）
　　双线性变换Ⅱ与双线性变换Ⅰ一样，可以将z平面的单位圆变换成w平面的虚轴。
　　令w平面的虚轴为

，则w平面的左半平面为稳定区域，

为w平面的频率，且由上式可知
　　

　　其中

为s平面的频率。
　　此时，s平面、z平面以及w平面的关系为
　　

　　　　　　　　　　　图1 s平面、z平面及w平面映射关系
　　当

较小时有
　　

　　　　　　　　　（6）
　　即w平面的频率近似于s平面的频率。这是采用双线性变换Ⅱ的优点之一。另外，双线性变换Ⅱ也与下一章的双线性变换一致，故建议使用双线性变换Ⅱ。
　　通过z-w变换，就可以应用劳斯―胡尔维茨判据分析线性离散系统的稳定性。
　　胡尔维茨判据：由系统特征方程各系数组成的主行列式及其顺序主子式全部为正。
　　该方法随着系统阶数的增加，计算会变得复杂。此时可以采用下面劳斯判据。
　　劳斯判据的要点是：
　　① 对于特征方程

，若系数

的符号不相同，则系统不稳定。若系数符号相同，建立劳斯行列表。
　　② 建立劳斯列表
　　

　　③ 若劳斯行列表第一列各元素严格为正，则所有特征根均分布在左半平面，系统稳定。
　　④ 若劳斯行列表第一列出现负数，系统不稳定。且第一列元素符号变化的次数，即右半平面上特征根个数。
　　〖例4.1〗应用劳斯判据,讨论图2所示系统的稳定性，其中K=1，T=1s。
　　

　　　　　　　　　　　　　　图2 系统结构图
　　解：由上一章可知，系统开环脉冲传递函数为
　　

　　闭环脉冲传递函数为

　　系统特征方程为

　　(1) 如采用双线性变换Ⅰ，即

，则可得w平面的特征方程为
　　

　　建立劳斯表
　　w² 2.632 0.632
　　w¹ 0.736
　　w⁰ 0.632
　　由劳斯判据可知系统稳定。
　　(2) 如采用双线性变换Ⅱ，即

，则可得w平面的特征方程为
　　

　　建立劳斯表
　　w² 0.658 0.632
　　w¹ 0.368
　　w⁰ 0.632
　　由劳斯判据可知系统稳定。
　　采用修正劳斯-霍尔维茨判据的优点是把离散系统和连续系统的稳定性判据联系起来了。把z平面变换为w平面的另一好处是可以采用分析连续系统的频率法。缺点是要进行w变换，对于高阶系统，这种变换是比较麻烦的。通常修正劳斯-霍尔维茨判据用来校验用其他方法判定的结果是否正确。
　　(2) 二次项特征方程稳定性的z域直接判别法
　　当离散系统的特征方程最高为二次项时，则不必进行w变换，也不必求其根。而是直接在z域判别其稳定性。
　　设系统的特征方程为
　　W(z)=z²+a₁z+a₀=0 （6）
　　式中，a₁，a₀均为实数。当满足下列三个条件：
　　① ｜W(0)｜=｜a₀｜<1
　　② W(1)=1+a₁+a₀>0
　　③ W(-1)=1-a₁+a₀>0
　　则系统是稳定的。
　　〖例1〗在例中，设T=1s，试用z域直接判别法确定满足系统稳定的K值范围。
　　解：图2所示系统的特征方程为
　　

　　利用z域直接判别法的三个条件，有
　　

　　第一个式子可解K<2.39，第二个式子可解K>0，第三个式子可解K<26.2。即满足系统稳定的K值范围为0<K<2.39。此结果与用劳斯判据给出的结果相同。

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