状态观测器设计

　　利用状态反馈实现闭环系统的极点配置，需要利用系统的全部状态变量。然而系统的状态变量并不都是能够易于用物理方法量测出来的，有些根本就无法量测；甚至一些中间变量根本就没有常规的物理意义。此种情况下要在工程上实现状态反馈，就需要对系统的状态进行估计，即构造状态观测器。状态观测器，是一个在物理上可以实现的动态系统，它利用待观测系统的可以量测得到的输入和输出信息来估计待观测系统的状态变量，以便用该组状态变量的估计值来代替待观测系统的真实状态变量进行状态反馈设计，实现闭环系统极点的再配置。
　　1. 全维状态观测器
　　当对象的所有状态均不可直接量测时，若要进行状态反馈设计，就需对全部状态变量进行观测。这时构造的状态观测器，其阶次与对象的阶次相同，被称为全维状态观测器。考虑如下n阶单输出线性定常离散系统
　　　　　　　　(1)
　　其中，A为n×n维系统矩阵， B为n×r输入矩阵，C为n×1维输出矩阵。系统结构图如图1所示。
　　
　　　　　　　　　　　图1 全维状态观测器
　　构造一个与受控系统具有相同参数的动态系统
　　　　　　　　　(2)
　　当系统(1)与(2)的初始状态完全一致时，则两个系统未来任意时刻的状态也应完全相同。但在实际实现时，不可能保证二者初始状态完全相同。为此，应引入两个系统状态误差反馈信号构成状态误差闭环系统，通过极点配置使误差系统的状态渐趋于零。由于原受控系统状态不可直接量测，故用二个系统的输出误差信号代替。
　　引入了输出误差的状态观测器状态方程为
　　　　　　　(3)
　　其中，H为状态观测器的输出误差反馈系数矩阵,有如下形式
　　
　　定义状态估计误差为，用式(7.65)与(7.67)相减可得
　　　　　　　(4)
　　即
　　　　　　　　　　(5)
　　通过式(5)可以看出，若选择合适的输出误差反馈矩阵H使得状态估计误差系统(5)的所有极点均位于z平面单位圆内，则误差可在有限拍内趋于零，即状态估计值在有限拍内可以跟踪上真实状态，且极点越靠近原点状态估计误差趋于零的速度越快，反之越慢。可见，能否逼近x(k)以及逼近速度是由H阵决定的。
　　前面提到过，利用状态反馈进行系统极点任意配置的充要条件是原系统能控。应用对偶原理，则易知通过选择H使系统(5)极点可以任意配置的充要条件是线性定常离散系统(A，B，C)完全能观测。
　　若指定状态观测器的特征值为，即期望的特征方程为
　　　　　　(6)
　　状态观测器的特征多项式为
　　　　　　　　(7)
　　比较式(6)和(7)两边z各次幂项的系数可得到一个n元方程组，从中可容易求得输出误差反馈系数矩阵H。
　　〖例1〗 已知系统的状态方程
　　
　　若所有状态皆不能直接量测，试设计―状态观测器并使观测器极点设置为。
　　解：采用如图1所示状态观测器结构，则观测器系统矩阵为
　　
　　状态观测器特征多项式为
　　
　　观测器期望特征多项式为
　　
　　令比较各次幂项系数得
　　
　　解得输出误差反馈系数矩阵为
　　
　　2. 降维状态观测器
　　系统状态能观是指系统的各个状态在有限拍内可通过输出Y(k)观测出来。有些状态在任意时刻可在输出中直接观测出来，这种状态称为直接能观。在输出矩阵中不为0的元素所对应的状态即是可直接观测的。
　　一般地，已知n维系统是能观测的，其输出矩阵的秩是m，则说明系统状态有m个是可以直接观测的，不需要对系统的n个状态全部进行观测，而只需对另外n-m个状态进行观测即可。即可用(n-m)维状态观测器代替全维状态观测器。这种维数低于被控系统状态向量的观测器称为降维观测器。
　　下面以单输入多输出系统为例介绍降维观测器的设计。
　　(1) 系统模型预处理。
　　已知n维线性定常离散系统(A，B，C)能观测
　　　　　　　　　(8)
　　其中，x(k)为n维状态向量，y(k)为m维输出列向量。
　　① 状态分解
　　先将状态x(k)分解成两部分：可直接测量部分 维)；不能直接测量需重构部分 维）。即
　　　　　　　(9a)
　　　　　　　　(9a)
　　其中，A₁₁为(n-m)×(n-m)维；A₁₂为(n-m)×m维；A21为m×(n-m)维；A₂₁为(n-m)×m维；b₁为(n-m)×1维； b₂为m×1维。
　　则状态方程又可以写为：
　　　　　　(10a)
　　　　　　(10a)
　　因x₂(k)直接能观测，所以式(7.74a)，即是待观测状态变量的状态方程。为了用可直接观测x₂(k)估计不可直接观测的x₁(k)，引入一个虚拟输出
　　　　　　　　(11)
　　② 观测器模型结构
　　整个系统的降维状态观测器实际上相当于全维观测器的子系统。因此采用与全维观测器相同的输出误差反馈思想，构造降维观测器，其结构如图2所示。
　　
　　　　　　　　　　　　图2 降维状态观测器结构
　　观测器模型为
　　　　　　　(12a)
　　　　　　　　　　(7.76b)
　　令观测器状态误差,同全维观测器情况类似，有
　　　　(13)
　　系统的降维观测器相当于下面系统的同维观测器：
　　　　　　(14a)
　　　　　　　　(14b)
　　如果式(7.78)描述的子系统能观测，则可通过选择H阵来任意配置的极点，以满足观测器状态逼近真实系统状态的速度的要求。可以证明，该子系统是能观测的。也就是说，如果系统全维状态观测器存在，则降维观测器一定存在。可以通过选H矩阵来任意配置状态估计误差系统的极点。
　　(2) 降维观测器实现
　　将z表达式(12)代入观测器方程(13a)中，得
　　　　　(15)
　　上式中，可直接得到，但最后一项实现有困难，因是预测值。这时可采用图3结构变换法，则得到降维状态观测器实现的结构如图4所示。
　　
　　　　　　　　　　图3降维状态观测器实现的结构变换法示意图
　　
　　　　　　　　　　　　　图4 降维状态观测器的实现