下面讨论当系统所有状态不能完全直接观测时用全维观测器观测出的状态进行状态反馈的设计问题。
以单输入单输出系统为例
 (1)
该系统完全能控完全能观测。设计的问题是：
1、用状态估计值反馈与用真实状态反馈系统性能是否一致?
2、状态反馈增益矩阵K和观测器输出误差反馈矩阵H如何设计?
先来讨论问题1。
用x(k)反馈时，闭环系统为
 (2)
其中，v(k)为参考输入
用 反馈时，状态观测器为
 (3)
闭环系统为
 (4)
若 ，比较式(2)和(4)可以看出闭环系统系数矩阵未变，均为A-bk，这种情况下， 反馈系统与x(k)反馈系统完全相同。
若 ，反馈系统比 反馈系统多了一个输入量 ，观测器设计过程中对H的选择保证了对系统来说相当于一个很快衰减的扰动量，只对系统产生瞬态的影响。
下面讨论问题2中K、H的设计。
通过前面的对比可以定性地看出
(1) 用反馈与用x(k)反馈，闭环系统极点不发生变化。如果(A，b)能控，用反馈同样可以选择K阵进行极点的任意配置，不受H阵影响。即使用观测器不影响状态反馈配置好的闭环极点。
(2) 状态观测器状态方程的形式与引入状态反馈前一样。因此，观测器极点的选择不受状态反馈系数阵K选择的影响。
综合上述两点，有如下定理存在。
定理 (分离定理) 若系统能控又能观，可以先通过闭环极点要求选择状态反馈系数矩阵K，然后可按观测器状态偏差 衰减速率要求独立地选择观测器输出误差反馈系数矩阵H，而H不会影响已配置好的闭环极点。也就是说，K和H可以分别独立设计，互不影响。
当采用降维观测器时，上述的结论同样适用。
〖例〗 给定二阶系统状态方程为
其中T为采样周期，T=0.1s。试设计带有全维状态观测器的状态反馈，使闭环系统极点为 ，观测器极点均位于z平面的原点。
解 先设计状态反馈系数矩阵K。
令 ，则闭环系统特征方程为
期望特征方程为
比较上两式 对应次幂项系数得 ，于是有 。
再设计输出误差反馈增益阵。令 ，计算
所以状态估计误差系统特征方程为
期望状态估计误差系统特征方程为 z2=0
因此有h1=2，h2=10，于是可得 。 |
